30: Ecuación de Onda Lineal
En la mecánica el tema estudio de la cinemática es la descripción del movimiento de objetos (velocidad, aceleración, etc.) mientras el tema de estudio de la dinámica es describir la situación física y de las fuerzas que dan lugar al movimiento (las leyes de Newton). Hasta ahora hemos visto la cinemática de ondas (descripciones de sus formas y cómo se mueven). En esta simulación nos fijamos en la dinámica de las ondas; las situaciones físicas y leyes dan lugar a ondas.
Comenzaremos con una cuerda que tiene una onda estacionaria y miraremos las fuerzas que actúan sobre cada extremo de un pequeño segmento de la cuerda debido a las secciones vecinas. A los fines de visualización se muestra la cuerda como una serie de masas pero el sistema físico sigue siendo una cuerda continua. Aunque la derivación es para una cuerda, resultados similares ocurren en muchos otros sistemas. Los extremos de la sección de cuerda que nos interesan están marcados con puntos rojos en la simulación. La tensión que actúa sobre cada extremo se muestra con un vector (en rojo) y sus componentes (verde y azul). Las fuerzas horizontales se cancelan (el segmento de la cadena no se mueve a la izquierda o a la derecha), pero hay una fuerza neta en la dirección vertical (los componentes verticales izquierdo y derecho no son iguales). Recuerde de la simulación de 4 que hay una aceleración transversal (y por lo tanto una fuerza transversal) que cambia con el tiempo en cada punto de la cuerda.
Preguntas:
30.1. Antes de ejecutar la simulación, utilice el transportador para medir el ángulo de la tensión en cada extremo del segmento (el transportador se puede arrastrar y también la punta de flecha se puede mover). ¿Son los mismos ángulos?
30.2. Ejecutar la simulación. Sobre la base de lo que sabe sobre la aceleración de un punto en una onda sinusoidal, explicar por qué la magnitud y la dirección de la fuerza neta en el segmento actúa como lo hace. (Sugerencia: Repasar la pregunta siete de la simulación 4.)
La tensión es T1 en la vecindad del lado izquierdo del segmento y T2 en la vecindad derecha del segmento en la cuerda. Si θ1 es el ángulo que forman la tensión con la horizontal en el extremo izquierdo del segmento y θ2 es el ángulo que forma la la horizontal en el extremo derecho y la fuerza total es F = -T1 senθ1 + T2 senθ2
Si la onda es de baja amplitud los ángulos son pequeños y tenemo sinθ ≈ tanθ que es la pendiente de la cadena en ese punto. Pendiente está dada por la derivada de la posición, tanθ = ∂y/∂x, por lo que podemos reemplazar la fuerza total en el segmento por F = T (-∂y/∂x1 + ∂y/∂x2) . El segmento tiene una longitud Δx. Multiplicar y dividir por esto para obtener F = T Δx (-∂y/∂x1 + ∂y/∂x2)/Δx . Si ahora dejamos a Δx llegar a ser muy pequeño esto se reduce a una segunda derivada: F = T Δx ∂2y/∂x2
También sabemos que F = ma la fuerza es proporcional a la aceleración, a = ∂2y/∂t2. Para una masa por unidad de longitud dada por μ la masa del segmento es μ Δx y tenemos F = Δx μ ∂2y/∂t2
Haciendo estas dos ecuaciones para la fuerza iguales entre sí que tenemos la ecuación de onda para una cuerda: T ∂2y/∂x2 = μ ∂2y/∂t2 (el Δx se cancela). Recuerde se la simulación 2 que v = (T/μ)1/2 for waves para las ondas en una cuerda por lo que también puede escribir la ecuación de onda lineal como as ∂2y/∂x2 = 1/v2 ∂2y/∂t2. Aunque empezamos con una cuerda y aplicamos F = ma, esta ecuación resulta en muchas otras situaciones físicas. La misma ecuación se cumple para las ondas sonoras en gases, líquidos y sólidos y para las ondas electromagnéticas; solamente la velocidad es diferente, como se ha señalado en la simulación de 3.
30.3. Verifique que y(x,t) = A sen (k x - ω t) es una solución a la ecuación de onda lineal. Haga esto tomando las segunda derivada de x (el lado izquierdo de la ecuación) y la segunda derivada del tiempo (el lado derecho de la ecuación) y la sustituya sus respuestas a los términos de la ecuación de onda lineal. Cancelar términos iguales en ambos lados. Usted debe ser capaz de demostrar que para que y(x,t) = A sen (k x - ω t) sea una solución se debe cumplir v = ω/k.
30.4. Verifique que A exp(-(k x - ω t)2) es una solución de la ecuación de onda lineal (este es el pulso de la onda de Gausiano en la simulación 13). Haga esto tomando la segunda derivada de X (el lado izquierdo de la ecuación) y la segunda derivada del tiempo (el lado derecho de la ecuación) y la sustitución de sus respuestas a los términos de la ecuación de onda lineal. Cancelar términos similares en ambos lados. Usted debe ser capaz de demostrar una vez más que v = ω/k si se trata de una solución a la ecuación de onda lineal.
En varias simulaciones hemos sumado ondas juntas. Esto significa que si y1(x,t) es una solución e y2(x,t) es una solución asumimos que y(x,t) = y1(x,t) + y2(x,t) es también una solución a la ecuación de onda lineal.
30.5. Demostrar que la declaración anterior es verdadera, sustituyendo y(x,t) = y1(x,t) + y2(x,t) en la ecuación de onda lineal. Separar términos para encontrar dos ecuaciones de onda, una para y1(x,t) y una segunda para y2(x,t) que son iguales entre sí. Esto prueba la ley de superposición; cuando dos ondas llegan al mismo punto al mismo tiempo, podemos simplemente sumar sus amplitudes para encontrar la onda resultante.
© 2015, Wolfgang Christian y Kyle Forinash.
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