32: Dispersión, Fricción, Disipación y No Linealidad
En la simulación 30 derivamos la ecuación de onda lineal, ∂2y/∂x2 = 1/v2 ∂2y/∂t2 para una cuerda elástica al considerar las fuerzas que actúan en una pequeña sección de la cuerda. El lado derecho de la ecuación es básicamente la aceleración vertical de una porción de la cuerda y el lado izquierdo es la fuerza. Constantes como la tensión y la masa por unidad de longitud aparecen en la velocidad, v que es constante para un sistema lineal. Pero, ¿qué pasa si otras fuerzas actúan sobre la cuerda? Algunas fuerzas adicionales causan la dispersión como vimos en simulaciones de 22 y 23. La fricción, disipación y no linealidad causan otros comportamientos como veremos en esta simulación.
Nota: El applet a continuación simula en realidad una larga cadena de masas acopladas por medio de resortes, como en la simulación anterior. Matemáticamente sabemos que en el límite continuo de pequeñas masas que están muy juntas obtenemos la ecuación de onda lineal como se muestra en la simulación 29. A medida que las ondas en la cadena sean suaves y cambian gradualmente, la cadena de masas se aproxima a una cuerda continua . Nuevas fuerzas que actúan sobre la cadena resultará en nuevos términos que se añaden a la ecuación de onda, como se muestra a continuación. Debe tenerse en cuenta, sin embargo, que debido a que el modelo subyacente es discreto, la simulación puede fallar para representar con precisión una cuerda elástica. A excepción de la fricción y disipación, la energía total debe permanecer aproximadamente constante (puede haber pequeñas fluctuaciones). Si la energía comienza a cambiar significativamente es una señal de que los cálculos numéricos de la simulación están fallando y la simulación ya no representa la cuerda elástica (o cualquier sistema real).
Preguntas:
32.1. Prueba de la simulación con la dispersión, fricción, disipación y no linealidad en cero para un pulso Gaussiano como condición inicial. Se conserva la energía?
Supongamos que cada punto de la cuerda tenía una fuerza adicional que actúa sobre él proporcional a la amplitud de la cuerda en ese punto. En otras palabras resortes unidos a cada punto de la cuerda. La ecuación de onda ahora debería lucir como ∂2y/∂x2 + α y = 1/v2 ∂2y/∂t2. Este término conduce a la dispersión, un fenómeno hemos examinado anteriormente.
32.2. Agregue una pequeña cantidad de dispersión (α) con todos los otros términos aún cero. Ejecute con condiciones iniciales Gaussianas. ¿Qué sucede con el pulso al transcurrir el tiempo? ¿Cómo se compara esto con lo que viste en la simulación 23?
32.3. Encuentra una relación de dispersión para la ecuación de dispersión mediante la sustitución de A exp(-(k x - ω t)2) en la ecuación y resolviendo para ω. Usted debe ser capaz de demostrar que para esta ecuación ω = (α + v2k)1/2.
32.4. Recuerde que en la simulación de 12 que la velocidad de grupo de un paquete de ondas está dada por vgrupo = ∂ω(k) /∂k pero la velocidad de fase es vfase = ω(k) / k. La velocidad de fase y grupo son diferentes y dependen de la longitud de onda. Explique lo que esto significa físicamente. ¿Cómo explica esto lo que viste en cuestión 31.2? (Sugerencia: Revisión de simulación 12.)
Supongamos que nuestra cuerda estaba tratando a vibrar en un medio como el agua o un gas denso. Esto introduciría una fuerza de fricción que sería proporcional a la velocidad; - η ∂y/∂t donde η es el coeficiente de fricción. Ahora la ecuación de onda se vería ∂2y/∂x2 - η ∂y/∂t = 1/v2 ∂2y/∂t2. Esperamos que esta fuerza transfiera energía gradualmente al líquido o gas circundante.
32.5. Con los demás parámetros establecidos a cero, agregue una pequeña cantidad de fricción y ejecutar con la condición inicial Gaussiana. ¿Qué sucede? ¿Qué pasa con la energía?
En cuerdas reales también hay fricción interna. Si alguna vez ha tenido una percha de metal y la dobló hacia delante y atrás muchas veces usted sabe que el lugar donde se produce la flexión se calienta. Esta fricción interna, llamada disipación, también transfiere gradualmente la energía de las ondas en una cuerda en un movimiento térmico aleatorio de los átomos en la cuerda. Para la ecuación de onda esta fuerza puede ser representado por - γ ∂y/∂x .
32.6. Con los demás parámetros establecidos a cero, agregar una pequeña cantidad de disipación (γ) y correr con la condición inicial Gaussiana. ¿Qué sucede? ¿Qué pasa con la energía? Usted se dará cuenta de que esto es ligeramente diferente del caso de fricción. Esto se debe a que un pulso Gaussiano no es una solución a la ecuación de onda con este término adicional en ella. Así que no sólo se transfiere energía en la cuerda desde el pulso si no que el pulso cambia de forma.
Como ejemplo final de la adición de las fuerzas externas a una cuerda consideramos una fuerza representada po ±β ∂2y2/∂x2. Este es un término no lineal y tiene el efecto contrario de la dispersión; términos no lineales causan paquetes de ondas más pronunciados en lugar de paquetes más dispersos.
32.7. Con los demás parámetros en cero, agregue una pequeña cantidad de no linealidad (β) y ejecutar con la condición inicial Gaussiana. ¿Qué sucede? ¿Qué ocurre para valores negativos de la no linealidad? Nota: La energía debe conservar aproximadamente - si el cambio de energía es significativo los cálculos numéricos en la simulación pueden fallar.
32.8. Usted puede preguntarse qué hace que una ecuación sea no lineal. En la simulación 29 Usted demostró que y(x,t) = y1(x,t) + y2(x,t) era una solución a la ecuación de onda lineal, siempre y cuando y1(x,t) y y2(x,t) son soluciones. Pruebe esto con la ecuación. ∂2y/∂x2 ± β ∂2y2/∂x2 = 1/v2 ∂2y/∂t2. Es la suma de las dos soluciones también una solución? Note que esto significa el principio de superposición no funciona para sistemas no lineales; no podemos construir una serie de Fourier de senos y cosenos para obtener un pulso de onda.
32.9. Es también el caso de que las funciones trigonométricas (seno, coseno y exponenciales) generalmente no son soluciones de ecuaciones no lineales. ¿Qué le pasa a una condición inicial de onda sinusoidal en el tiempo con una pequeña cantidad de no linealidad?
32.10. Como una prueba más de que las funciones trigonométricas no son soluciones, intente una A exp(i(k x - ω t)) como una posible solución a la ecuación no lineal sustituyendo en la ecuación en la pregunta 31.7. ¿Es una solución? Explicar. ¿Es una solución a la ecuación con la fricción, pero sin término no lineal? ¿Qué pasa con los casos de disipación y dispersión?
Aunque una onda exponencial (plana) no es una solución a la ecuación no lineal que debería haber sido capaz de llegar a esta expresión en la pregunta anterior: ω2 = k2v2 ± 4βk2A exp(i(k x - ω t)). Podemos tener una relación de dispersión aproximada de esta expresión si usamos el desarrollo en serie de Taylor para el exponentet: exp θ ≈ (1 + θ + θ2/2! + ... ) y mantener sólo el primer término. esto nos da la relación de dispersión aproximada para esta ecuación como ω = k(v2 ± 4βA)1/2.
32.11. La velocidad de grupo de un paquete de ondas está dada por vgrupo = ∂ω(k) /∂k. Encuentra una expresión para la velocidad de grupo de la expresión aproximada de la relación de dispersión para una cuerda no lineal.
32.12. Para el signo más en la relación de dispersión, las ondas altas viajan más rápido o más lento que las ondas bajas? ¿Qué pasa con el signo menos?
32.13. Debido a que las ondas más altas viajan más rápido (para el caso con signo mas), una colección de ondas hechas de varias frecuencias diferentes se acumulan poco a poco ya que las olas más altas alcanzan las ondas de amplitud inferior, más lentas. Repita la pregunta 31.6 y hacer comente lo que ve. Nota: Para esta fuerza no lineal sencilla la simulación no puede representar una verdadera ruptura de la ola como en la playa. Es también el caso de que los cálculos numéricos se producirá un error una vez que la ola se pone escalonada. Pero es la no linealidad que hace que las olas rompan. Las Olas de agua interactúan con el fondo del océano a medida que avanzan en aguas poco profundas. Estas interacciones son no lineales y causan un paquete de ondas a más pronunciado y luego rompen como las olas de amplitud más altas se mueven más rápido que las olas bajas.
© 2015, Wolfgang Christian y Kyle Forinash.
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