23: Dispersión II
En la simulación 14 en la serie de Fourier, se encontró que complicadas formas de onda periódicas siempre pueden ser construidos a partir de funciones de seno y / o coseno de diferentes frecuencias y longitudes de onda. En la simulación anterior, se encontró que diferentes longitudes de onda pueden viajar a velocidades diferentes en función del medio. Entonces, ¿qué le pasa a una forma de onda compleja si viaja a través de un medio en el que las componentes individuales tienen diferentes velocidades?
Podemos escribir una serie de Fourier para una onda cuadrada en movimiento en el tiempo y el espacio como y(x,t) = ∑n = 1 An sen (nkx - nωt) donde n es el número de la armónica o el modo (n = 1 para el fundamental, 2 para el segundo armónico etc., An es la amplitud del armónico n, k es el vector de onda y ω es la frecuencia angular. Recuérdese de la simulación de 12 que la velocidad de grupo de una combinación de ondas es vgroup = ∂ω(k) / ∂k. La dependencia de ω en k se llama la relación de dispersión. En vacío o en un medio no dispersivo podemos esperar que cada componente de la serie tenga la misma velocidad, v = ω / k, por lo que la relación de dispersión es ω(k) = kv a velocidad de grupo es v, misma que la de las componentes individuales. En este caso la onda cuadrada no cambia de forma a medida que viaja.
En la vida real, sin embargo, es frecuente el caso en que la frecuencia angular, ω(k), no es una función lineal del vector de onda, k en cuyo caso los componentes individuales de la serie de Fourier viajan a velocidades diferentes. Si diferentes frecuencias de onda viajan a diferentes velocidades el efecto se llama dispersión. Como vimos en la simulación anterior, la dispersión hace que la separación de colores por los prismas, las gotas de agua, etc. En esta simulación se explora un aspecto diferente de la dispersión.
Preguntas:
23.1. La simulación se inicia con los primeros cuatro componentes de la serie de Fourier de una onda cuadrada viajando sin dispersión. Reproducir la simulación y describir lo que ocurre con la forma cuando pasa el tiempo.
23.2. Dado que la velocidad de una onda sinusoidal es v = ω/k, cuáles son las velocidades de los cuatro primeros componentes de la onda cuadrada: y(x,t) = sin(1*x-1*t) + sin(3*x-3*t)/3 + sin(5*x-5*t)/5 + sin(7*x-7*t)/7
23.3. ¿Cuál sería el quinto término de la serie de Fourier de una onda cuadrada? Añade tu respuesta a los cuatro primeros términos y ver si la forma está más cerca de una onda cuadrada. Se requeriría un número infinito de términos para crear una onda cuadrada perfecta pero podemos llegar tan cerca como nos gusta añadiendo tantos términos como sea necesario.
22.4. Haga clic en 'reset' y cambie la frecuencia angular del segundo término de 3 a 2,95 y pulsa enter. Esto hará que el segundo término tenga una velocidad ligeramente diferente. ¿Cuánto es esta nueva velocidad para el segundo término? ¿Cómo se compara la forma inicial con la forma inicial de la pregunta 23.1 (si restablece antes de entrar en el cambio deben ser idénticos)?
23.5. Ahora ejecuta la simulación de la onda de la pregunta anterior. ¿Qué sucede con la forma de la onda cuadrada con el paso del tiempo?
23.6. Restablecer el caso original y cambiar la frecuencia angular del tercer término de 5 a 4,95. ¿Qué efecto tiene esto sobre el comportamiento de la onda?
23.7. Basado en las dos preguntas anteriores, explique lo que pasaría en una señal digital (que es básicamente una serie de ondas cuadradas) que viaja por un cable (ya sea cables o fibra óptica), donde hay una pequeña cantidad de dispersión.
23.8. Todos los cables (de fibra óptica o de metal) tienen cierta dispersión. ¿Por qué hay un límite en el largo de un cable para que las señales que viajan por el pasen a ser retransmitidas (donde la señal se amplifica y es 'limpiada')?
© 2015, Wolfgang Christian y Kyle Forinash.
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