Tutorial 31: Cadena de Masas Oscilantes
En esta simulación examinamos las ondas que se producen en las cadenas de masas con masa M acopladas juntas con un elástico, las fuerzas de la ley de Hooke (F = -κx donde κ es la constante del resorte y x es la magnitud de compresión del resorte). Las masas están limitados sólo a moverse hacia arriba y hacia abajo por lo que el estiramiento depende sólo de la diferencia en las posiciones y de las masas. En este caso, la fuerza sobre la masa número i debido a sus vecinos en i+1 y i-1 es Fi = -κ[(yi+1 - yi) - (yi - yi-1)]. Las masas en cada extremo de la cadena son fijos y existe una pequeña cantidad de fricción en el sistema de modo que, finalmente, las oscilaciones terminan.
Como primera aproximación, los átomos en un sólido se pueden imaginar acoplados a fuerzas de tipo resorte con sus átomos vecinos por lo que esta simulación modela un sólido unidimensional. En el límite como la distancia entre las masas se vuelve muy pequeña este modelo se convierte en el modelo de una cuerda elástica.
La simulación comienza con una onda sinusoidal con 32 masas. El número de masas se puede cambiar y también puedes tomar una sola masa, moverla a una nueva posición y comenzar la simulación con esta nueva configuración. Los otros botones establecen condiciones iniciales para diferentes números de masas. Cada uno de estos casos especiales son un ejemplo de un modo normal del sistema.
Preguntas:
31.1. Pruebe las diferentes configuraciones preestablecidas utilizando los botones debajo de la simulación. ¿Cuántos modos normales están disponibles para tres masas (una masa en movimiento) en la cadena? Para cuatro masas (dos en movimiento)? Para cinco masas?
31.2. Utilice los botones de pausa y de paso para medir la frecuencia de cada modo. ¿Cómo son? ¿Son iguales?
31.3. Dibuje los posibles modos de cuatro masas móviles (seis masas en total). ¿Cuántas modos existen?
Un modo normal es una configuración especial (estado), en la que cada partícula se mueve de forma sinusoidal con la misma frecuencia angular ωm donde m es un número entero. El modo m-ésimo, Φm, del oscilador en cadena de longitud L con N masas está dada por Φm(x,t) = sen (mπx/L) cos (ωmt + φ). La frecuencia angular de cada partícula está dada por ωm2 = (4κ/M) sen 2 (mπ/2N).
Resulta que cualquier posible tipo de vibración se puede describir matemáticamente por una suma de modos normales con amplitudes apropiadas. Esto es equivalente a la declaración se investigó en las simulaciones 14 y 23; ondas periódicas complicados siempre pueden ser descritos por una serie de Fourier de senos y cosenos. La diferencia con masas en una cadena es que sólo hay un número finito de modos disponibles. En un sistema continuo, hay un número infinito de modos.
31.4. También puede tomar y cambiar la posición de las masas en la simulación. Pruebe esto con la condición inicial de una onda sinusoidal. Describa lo que hizo y lo que se ve.
En la simulación 23 vimos la relación de dispersión lineal, ω(k) = kv ue nos dice que la frecuencia angular es proporcional al vector de onda, k. Si la velocidad de la onda v es independiente de la frecuencia (es decir, no hay dispersión), entonces un gráfico de ω vs. k s una línea recta. Desde ω(k) es una función continua no hay ninguna limitación en el valor de longitudes de onda, siempre y cuando la proporcionalidad se mantenga.
Pero en una cuerda de masas no se puede tener longitudes de onda más cortas que la distancia entre las masas (no hay nada allí para vibrar). Así la relación de dispersión para una masa en un cuerda no puede ser la misma que la relación de dispersión lineal. Como se muestra anteriormente, la relación de dispersión para las masas separadas por un una distancia a, cada uno con masa M conectada a su vecino por un resorte con constante de resorte κ está dada por ω(k) = 2(κ/M)1/2 sin (ka/2) . (¡Cuidado! κ es la constante del resorte, no el vector de onda, k = 2π/λ.)
31.5. Pruebe diversos valores de n para la cadena con la onda sinusoidal como condición inicial. ¿Qué se puede concluir de sus experimentos? ¿Cómo es la limitación de la longitud de onda debida al número de masas?
31.6. Hacer una gráfico de ω(k) = kv y ω(k) = 2(κ/m)1/2 sin (ka/2) vs. k n el mismo gráfico. Use v = 10,0, κ = 2,0, m = 1 y a = 0,1. ¿Cómo difieren los gráficos? Por lo que las longitudes de onda (pequeños o grandes) dan aproximadamente el mismo resultado? ¿Por qué se superponen para grandes valores de la longitud de onda?
31.7. Recordemos de la simulación 12 que la velocidad de grupo de un grupo de ondas está dada por vgrupo = ∂ω(k) /∂k. Encuentra una expresión para la velocidad de grupo de una onda en una cadena de masas.
31.8. Observe que la velocidad de grupo para un paquete de ondas que viajan en una cadena de masas es dependiente de la longitud de onda. Sobre la base de lo que aprendiste sobre la dispersión en la simulación 23, ¿qué esperas le ocurra a un paquete de ondas que viaja por una cadena de masas conectadas por resortes?
© 2015, Wolfgang Christian y Kyle Forinash.
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