33: Solitons
Como ya hemos visto si otras fuerzas están presentes en el sistema (tales como resortes no lineales o fricción) la ecuación de onda debe ser modificado para tener en cuenta esas fuerzas con el resultado de que las funciones trigonométricas simples ya no serán soluciones. Sería lógico suponer que puede haber soluciones no estables si otras fuerzas actúan. Sin embargo pocos casos especiales en los que los efectos de dispersión y disipación (que tiende a achatar el pulso) se compensan exactamente por una fuerza no lineal (que como hemos visto tienden a empinar la onda). En este caso puede haber una forma especial de forma pulso que puede viajar y mantener su forma y se ha llamado solitón.
Los solitones se han utilizado para modelar muchos diferentes fenómenos físicos, por ejemplo macareos, impulsos electroquímicos en movimiento a lo largo de las fibras nerviosas, las barreras de dominio entre las regiones de orientación magnética diferente en un metal, pulsos de luz en cables de fibra óptica, ondas acústicas de iones en los plasmas, ondas de sonido en un cristal, la gran mancha roja en Júpiter y muchos otros fenómenos.
En esta simulación se presenta el caso especial de la ecuación de ondas Seno-Gordon. La ecuación Seno Gordon ∂2y/∂x2 = 1/v2 ∂2y/∂t2 + ζ sin(y) donde sin(y) actúa como un término no lineal y como un término de dispersión. El término de la fuerza no lineal está dada por ζ. Senos, cosenos y exponenciales no son soluciones para esta ecuación pero hay una solución exacta llamada Kink (torcedura) dada por y(x,t) = 4tan-1(exp ±ζ(x - xo - vt)/(1 - v2)1/2). Donde xo es el centro inicial de ubicación del kink y v es la velocidad. Hay sólo unas pocas soluciones conocidos diferentes y, porque la ecuación es no lineal, no podemos encontrar nuevas soluciones por adición de soluciones conocidas como puede hacerse en el caso lineal con una serie de Fourier.
Note que a fin de que la simulación se pueda ejecutar en una página web se ha sacrificado algo de exactitud en la simulación. La energía debe permanecer perfectamente constante en todos los casos; energía no constante indica los cálculos numéricos están fallando. Es también el caso en que aproximamos a un sistema continuo con un conjunto de masas discretas que resulta en una simulación menos exacta.
Preguntas:
33.1. Con el coeficiente no lineal en cero, primero verifique si las condiciones iniciales de onda sinusoidal y el pulso Gaussiano son soluciones. Ellos deberías ser así ya que para ζ = 0 la ecuación se reduce a la ecuación de onda lineal. ¿Qué sucede si agrega una pequeña cantidad (ζ = 2) de no linealidad?
33.2. Prueba la condición inicial de kink con cero de no linealidad. Usted notará que un kink no es una solución a la ecuación de onda lineal (la energía no se conserva). Restablecer la simulación y probar diferentes valores del parámetro no lineal y velocidades para la condición inicial de la kink. ¿Qué efecto tiene ζ sobre la forma y la velocidad del kink?
33.3. En el graficador haga una gráfica de la solución de kink para t = 0 (utilizar el signo más en la solución). ¿Cuál es el valor de la solución cuando x tiende ∞? ¿Qué sucede cuando x va a -∞? ¿Cómo cambia su respuesta si se utiliza el signo menos en la solución?
Los solitones tienen diferentes valores en ±∞ que son llamados solitones topológicos. Una manera de pensar acerca de lo que está pasando es imaginar una serie de depresiones o zanjas paralelas (correr horizontalmente en la simulación) con una joroba en el medio. Un sistema físico representado por la ecuación Seno Gordon es una cuerda tensa que comienza en un extremo con una depresión pero en la posición del kink está la joroba que descansa en las depresiones vecinas. A medida que el kink se mueve la cuerda cambia de una depresión a otra. Otro modelo físico de un kink Seno Gordon es el giro de 360 grados en una cadena de masas conectadas por resortes. La ubicación del kink es donde se encuentra el giro.
33.4. Usando la analogía física de la cuerda elástica en una serie de depresiones, ¿cuál es la diferencia entre la solución con el signo de mas (kink) y la solución con el signo menos (llamado anti-kink)?
33.5. Demuestre que la solución del kink vista anteriormente es realmente una solución a la ecuación Seno Gordon. [Sustituir la solución en la ecuación, tome derivados, etc. Usted necesitará varias igualdades trigonométricas.]
33.6. En nuestro analogía de la zanja, podríamos preguntarnos qué sucede si la cuerda va a la siguiente zanja pero luego en algún momento y desde lejos comienza a regresar a la zanja inicial. O imagine un kink empezando por un extremo y un antikink en el otro así que la cuerda comienza y termina con la misma depresión pero hay una segunda depresión en el centro. Si ellos se mueven y chocan en el centro qué ocurre? Pruebe el caso de colisión para bajo nivel de no linealidad (ζ = 2) y diferentes velocidades. Describa los resultados (hay varios desenlaces posibles, dependiendo del parámetro no lineal y la velocidad incluyendo una solución respirador en la que un par kink/antikink fluctúan juntos la mano en su lugar)? Nota: Si la energía no se conserva al menos aproximadamente, la simulación probablemente falle para dar un resultado exacto; intente con una cantidad más pequeña de no linealidad..
33.7. En nuestra analogía de zanjas podemos imaginar más de una zanja vecina. De hecho el término seno en la ecuación Seno Gordon hace un número infinito de zanjas disponibles para la cuerda elástica. Experimente con las condición inicial de dos kinks para diversos valores de no linealidad y velocidades. ¿Qué sucede con dos kinks cuando chocan? Esta es una propiedad general de solitones; mantienen su forma luego de la colisión. Esto no es lo mismo que superposición lineal; a menudo los solitones poseen diferentes velocidades y posiciones después de la colisión, mientras los pulsos que chocan en un sistema lineal son exactamente los mismos después.
33.8.Encuentre al menos dos videos interesantes en YouTube sobre solitones y discuta lo que ve (asegúrese que sean realmente de solitones y no otra cosa). Consejo: Buscar por solitón, onda solitón, Korteweg de Vries solitón, solitón Gordon Kline, Phi-4 solitón, ecuación de Schrodinger no lineal, Boussinesq o solitón. Asegúrese de entender lo que está buscando en antes de escribir una descripción.
© 2015, Wolfgang Christian y Kyle Forinash.
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