14: Series de Fourier
Como vimos en la simulación anterior, las ondas pueden tener formas muy complicadas que no se asemejan a una onda sinusoidal. Sin embargo el matemático francés Jean Baptiste Joseph Fourier demostró que cualquier función periódica puede formarse a partir de una suma infinita de senos y cosenos. Esto es muy conveniente, ya que significa que todo lo que sabemos acerca de senos y cosenos se aplica a una función periódica de cualquier forma. Aunque la suma es infinito, en teoría, en muchos casos utilizando sólo algunos términos pueden ser lo suficientemente cerca como para proporcionar una buena aproximación.
Análisis de Fourier es el proceso matemático de representar una onda compleja como una suma de de senos y cosenos. La Síntesis de Fourier es el proceso de construcción de una forma de onda particular, mediante la adición de senos y cosenos. Análisis de Fourier y la síntesis de Fourier se puede hacer para cualquier tipo de onda, no sólo las ondas de sonido se muestra en esta simulación.
Esta simulación muestra la suma de hasta ocho armónicos de una onda sinusoidal. Inicialmente se ajusta la velocidad a cero para hacer que la visualización más simple. Un armónico de una onda sinusoidal es una onda sinusoidal que tiene una frecuencia que es un múltiplo entero de la frecuencia de la onda original. El primer armónico (ajuste con el regulador A1) se llama la fundamental. Así que si el fundamental es f1 = 200 Hz el segundo armónico es f2 = 400 Hz, el tercer armónico es f3 = 600 Hz, etc. Sabemos v = λ f por lo que para una velocidad fija, duplicando la frecuencia significa la longitud de onda del segundo armónico es la mitad del fundamental. Si se sostiene el dedo abajo en el medio de una cuerda de guitarra y si tocamos a un costado cortamos la longitud de onda a la mitad lo que determina que la frecuencia sea el doble. Para ondas estacionarias con una cuerda fija en sus extremos (como el caso de una cuerda de guitarra) cada armónico también es llamado modo normal de vibración.
Preguntas:
14.1. Trate de ajustar el control deslizante A1 a diferentes valores. ¿Qué hace este control? Si tiene altavoces, activar el sonido y escuchar. Esta es una onda sinusoidal 200 Hz.
14.2. Usted puede haber notado que la amplitud se muestra en el gráfico de la parte superior derecha. Haga clic en la casilla de espectro para ampliar este gráfico. También puede ver la magnitud de la amplitud manteniendo el ratón el botón del ratón y moviendo el ratón a la parte superior de uno de los picos de la gráfica del espectro. ¿Coincide con el valor de A1 fijado por el regulador? Utiliza el ratón para encontrar la longitud de onda (distancia entre picos en el gráfico de la izquierda), ¿cuál es la longitud de onda de esta onda?
14.3. Utilice el botón 'reset' y mover cursor A2 (el segundo armónico). ¿Cuál es la longitud de onda del segundo armónico? ¿Cómo esta longitud de onda en comparación con la longitud de onda de la fundamental? Esta es una onda sinusoidal 400 Hz. ¿Qué suena?
14.4. El tono de una onda de sonido se determina por la frecuencia fundamental. Encienda la velocidad (344 m/s para el sonido a temperatura ambiente). Con solamente muestra la amplitud A1, ejecutar la simulación. Encuentra el período midiendo el tiempo (en 10-3 segundos) entre el momento en un pico pasa el origen y cuando pasa el próximo pico (utilice el botón paso para obtener una medición exacta del tiempo). ¿Cuál es la frecuencia de la fundamental?
14.5. Ahora busca el período de una onda con varios armónicos. ¿Cuál es el período de la combinación (el tiempo entre picos sucesivos altos)? Aunque la onda se parece más complicado que tiene la misma frecuencia fundamental y por lo tanto el mismo tono. Los picos adicionales, más pequeños son debidos a los armónicos y dan a un sonido su timbre. Una trompeta y trombón tocando la misma nota tienen la misma frecuencia fundamental, pero suenan diferente debido a la cantidad e intensidad de armónicos presentes.
El gráfico en la parte superior derecha se llama un Espectro de Fourier y es una forma simple de mostrar cuánto de cada armónica está presente en el gráfico de la izquierda. Las Series de Fourier por lo general incluyen funciones seno y coseno y pueden representar funciones periódicas en el tiempo o en el espacio o ambos. En esta simulación sólo tenemos combinaciones de ondas sinusoidales. La Serie de Fourier de la función de onda que muestra en el gráfico de la izquierda está dada por y(t) = ∑n = 1 An sen (n 2π x/λ - n 2π f t). Aquí t es el tiempo, n es el número de armónicos o modos (n = 1 para el fundamental, 2 para el segundo armónico, etc.), An es la amplitud del armónico o modo, n y f la frecuencia fundamental (f = 1/T).
14.6. Para obtener la forma exacta de una función periódica arbitraria necesitaríamos un número infinito de términos en la serie de Fourier, pero en esta simulación sólo podemos agregar un máximo de ocho términos. Pruebe la siguiente combinación de armónicos (que puede escribir las amplitudes en las casillas junto a los controles deslizantes para obtener valores exactos): A1 = 1.0, A2 = 0, A3 = 0.333 (= 1/3), A4 = 0, A5 = 0.20 (= 1/5), A6 = 0, A7 = 0.143 (= 1/7), A8 = 0, A9 = 0.11 (= 1/9), A10 = 0. ¿Cuál es la forma aproximada de esta onda? Si tiene altavoces, activar el sonido y escuchar.
14.7. Restablecer la simulación y tratar la siguiente combinación de armónicos (que puede escribir las amplitudes en las casillas junto a los controles deslizantes para obtener valores exactos): A1 = 1.0, A2 = -0.5, A3 = 0.333, A4 = -0.25, A5 = 0.20, A6 = -0.166, A7 = 0.143, A8 = -0.083, A9 = 0.11, A10 = -0.041 . ¿Cuál es la forma aproximada de esta onda? Si tiene altavoces, activar el sonido y escuchar.
Si pudo oír las notas representadas por las ondas en el ejercicio 14.6 y 14.7, ¿qué sería lo mismo en ambos? ¿Qué sería diferente? ¿Cuál es la diferencia de sonido entre los dos?
14.8. Supongamos que un clarinete y trompeta tocan la misma nota (tienen la misma frecuencia fundamental). ¿Por qué es que usted todavía puede distinguirlos, a pesar de que están jugando la misma nota?
14.9. Encuentre una definición de timbre y la escríbala con sus propias palabras. Sobre la base de sus respuestas a las preguntas anteriores, qué causa el timbre?
14.10. Suponga que desea construir un instrumento electrónico que suma ondas para imitar otros instrumentos (así es como funcionan algunos sintetizadores musicales). ¿Qué necesita saber sobre el sonido de trompeta con el fin de reconstruir ese sonido? (Sugerencia: pensar en la información contenida en el gráfico de la derecha.)
© 2015, Wolfgang Christian y Kyle Forinash.
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