6: Movimiento Armónico Simple y Resonancia
A continuación se muestra una simulación impulsada para un oscilador armónico simple amortiguado con una masa de 1 kg en un resorte de constante elástica 2 N/m. La posición del movimiento se representa gráficamente en función del tiempo. La frecuencia de conducción f se puede ajustar por lo que esperamos para una frecuencia particular que vamos a ver la posición del movimiento que sea muy grande. En otras palabras, se producirá la resonancia.
Varios parámetros pueden ser ajustados. b es la cantidad de fricción en Ns/m (Esta resistencia del aire podría, fricción por rozamiento o fricción en el mismo resorte); v0 en m/s es la velocidad inicial de la masa; y F0 es la magnitud de la fuerza impulsora en Newtons.
En esta (y en muchas otras simulaciones) es más fácil escribir ω = 2π f donde ω es la frecuencia angular en radianes por segundo en lugar de tener que escribir 2π f todas partes.
Preguntas:
6.1. Comience con los parámetros predefinidos, arrastrar el balón a la máxima posición de partida (10 m) y presione el botón de reproducción (play). ¿Cómo se compara este movimiento con movimiento armónico simple (en el último capítulo)?
6.2. Restablecer la simulación, cambie el parámetro de fricción, b a 0.5 Ns/m, arrastrar el bola a la posición máxima de partida (10 m) y presione el botón de reproducción (play). (También puede hacer clic en el botón en la parte superior por menos de movimiento amortiguado.) ¿Qué sucede? Este movimiento se llama movimiento armónico amortiguado.
6.3. Pruebe diferentes valores para b. ¿Cómo es el comportamiento de la masa para pequeños valores de b (menos de uno) diferente que para valores mayores de 2 Ns/m (asegúrese de utilizar la misma posición de partida cada vez)?
Si la masa oscila al menos una vez antes de detener, la amortiguación se llama movimiento bajo amortiguada. Si la masa nunca vuelve a la posición de equilibrio el movimiento se llama sobre amortiguada . El caso en el que hay justo lo suficiente de amortiguación tan que una oscilación no se produce (la masa apenas hace volver al equilibrio) se llama movimiento críticamente amortiguada .
6.4. Haga clic en los botones en la parte superior por diferente cantidades de amortiguación. Describir las diferencias entre estos tres casos.
6.5. Restablecer la simulación, establezca el parámetro de fricción, b a 1,0 Ns/m, y la magnitud de la fuerza motriz, F0 a 1,0 N. La frecuencia angular debe ser 1,0 rad/s también. Arrastre la bola a la posición máxima de partida y pulsar el botón Reproducir. En esta y las siguientes preguntas que tendrá que esperar 10 s más o menos para el el movimiento se estabilice. Describa el movimiento estable después de las oscilaciones iniciales para este caso. Este movimiento se llama movimiento armónico, impulsada y amortigua .
6.6. Experimente con diferentes cantidades de fuerza, manteniendo la fricción y la frecuencia angular igual a uno. También empezar desde la misma posición cada vez. ¿Cuál es el efecto de los mayores valores de fuerza de la amplitud, F0 en el movimiento final, estable de la masa?
6.7. Con amortiguación, b puse a 0,2 Ns/m y F0 establece en 1,0 N, probar varios valores del angular velocidad, ω . Comience con un valor de 1,1 rad/s y aumentar en 0,1 cada vez hasta llegar a 1,8 rad/s. En cada caso, espere hasta que termine la animación y medir la amplitud haciendo clic en la parte superior de la curva cerca del final. El segundo número en el cuadro amarillo es la amplitud en m. Anote la amplitud para cada frecuencia de conducción. Cual velocidad de accionamiento acabó dando la mayor amplitud?
Resonancia se define a ocurrir cuando un sistema de vibración es impulsado con una frecuencia que hace que la amplitud la más grande. Generalmente esto ocurre cuando la frecuencia de accionamiento es igual a la frecuencia natural. Un ejemplo de resonancia es cuando una copa de vino es impulsada por ondas de sonido con una frecuencia igual a la frecuencia natural del vidrio. Si la amplitud se vuelve lo suficientemente grande, el cristal se rompa. Hay muchos otros ejemplos de resonancia. Instrumentos musicales dependen los fenómenos de resonancia para producir tonos fijos, sintonizando una radio a un canal exacto depende de la selección de una resonancia, y el Imagen de resonancia magnética (MRI) en el mundo médico utiliza la resonancia para formar imágenes del interior del cuerpo humano.
Como vimos en el capítulo anterior frecuencia natural , escrita como f0 viene dada por la rigidez de la resorte, κ, y la masa; f0 = (κ /m) 1/2 / 2 π . En esta simulación la masa es de 1 kg y la constante del resorte es de 2 N/m por lo que f0 = 0,225 Hz y la frecuencia angular natural, ω 0 = 2 π f es igual a 1,41 rad/s. En el anterior pregunta que usted debe haber visto la amplitud máxima para una frecuencia de accionamiento de 1,41 rad/s. En otras palabras una frecuencia de conducción, ω de 1,41 rad/s lleva a la resonancia (amplitud máxima) porque es igual a la frecuencia natural, ω 0 .
6.8. Usa una calculadora para encontrar la frecuencia natural de un sistema de resorte y masa con m = 2,0 kg y κ = 5,0 N / m. ¿Qué espera la frecuencia de resonancia que es para este caso?
La fórmula matemática que describe un movimiento armónico amortiguado es A- γ t cos (ω t + φ) , donde γ = b/2m . aviso que se trata de la misma función coseno para el movimiento armónico simple pero la amplitud, A , se multiplica por una función exponencial decreciente de tiempo, e - γ t . Así que esperamos que la oscilación de un oscilador armónico amortiguado para ser un subir y bajar del coseno funcionar con una amplitud que disminuye con el tiempo.
6.9. Revise para ver si la fórmula A- γ t cos (ω t + φ) realmente no describir el comportamiento de un movimiento armónico amortiguado en la simulación. Para ello, utilice una calculadora gráfica (o vaya a meta calculadora y elegimos calculadora gráfica o usar Desmos calculadora ) y la trama y = 10 * exp (-.2 * x) * cos (1. * x) . Este es el caso de A = 10 m; b = 0,4 Ns / m; m = 1,0 kg; y ω = 1.0 rad/s. (Usted puede cortar y pegar la ecuación en la calculadora en línea). ¿Cómo funciona esto gráfico compara con la simulación de estos mismos parámetros (Nota: usted está interesado sólo en lo positivo x valores)?
La fórmula matemática que describe conducido, amortiguados movimiento armónico es A 0 cos (ω t + φ) , donde A 0 = (F 0 / m) / ((ω 2 - ω 0 2 ) 2 + 4 γ 2 ω 2) 1/2 . En este caso, la amplitud, A0 hace no cambia con el tiempo, pero es dependiente de la frecuencia de excitación, ω .
6.10. ¿Qué sucede con la amplitud, A0 , cuando ω = ω 0 (asumen todos los otros factores son números constantes)? Está ahí cualquier otra combinación de ω y ω 0 que le da una amplitud más grande?
6.11. Verifique su respuesta anterior por haciendo una parcela de A0 = (F0 /m) / ((ω 2 - ω 0 2) 2 + 4 γ2 ω 2 ) 1/2 para una gama de frecuencia de accionamiento. Hacer esto, utilizar una calculadora gráfica para graficar y = 1.0 / ((1,4 ^ 2 - x ^ 2) ^ 2 + 4 * 0,04 * 1,4 ^ 2) ^ .5 . Dónde no este gráfico tiene un máximo para valores positivos de x ?
6.12. Sobre la base de las dos preguntas anteriores, ¿cuál es la frecuencia de resonancia de este sistema y cómo funciona compara esto con la frecuencia natural?
© 2015, Wolfgang Christian y Kyle Forinash.
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